✧°﹒‧... “《22個思考工具~14》心法讀書會”

 ✧°﹒‧... “《22個思考工具~14》心法讀書會”
22個思考工具:不只可以簡化大多數人面對難題而本能產生的複雜想法，更要活絡你的思路，學習用數學的抽象思考方式解決各種難題。有效的思考工具，就是幫助你運用想像力跟邏輯思維，把問題化繁為簡，再以此進一步求解。

《思考工具14~對稱原理》
…自由認領~一起開發推理證明教材…
✧✧✧對稱原理～認領夥伴: 鍾元杰、陳詩韻

這ㄧ單元(14.對稱原理)的每個例子都很精彩
所以我先留下這單元的完整內容

我又遇到好夥伴(阿杰老師)  支援提供 各種相關例子...
(提供好多好例子/而且還有動態講解/...之後再補)

✧✧✧《思考工具14~對稱原理》 書本內容: 【詩韻加註的部分】

在給定系統裡有沒有某些對稱性質,可以讓我們從中取得資訊？

對稱性替外表看來不相干的
物體、現象及理論之間
創造了既美好又令人莞爾的關係:
就像地磁、偏振光、天擇、群論、
宇宙結構、花瓶形狀、量子物理、花瓣、
海膽的細胞分裂、雪花、音樂和相對論……
────研究對稱性的德國數學家外爾(Hernam Weyl,1885-1955)

如果敵人在射程之內,那麼你也是。
────美國步兵期刊

對稱這個概念,源自古希臘文Symmetria,而這個字又是由以下兩個詞組合而成:
Sym:相同的,同類的
metron:測量值,度量
意思就是對稱性。

在西元前500年,古希臘雕塑家波留克列特斯(Polykleitos)第一次使用對稱當作他新穎的美學概念,組成一件雕刻作品的各個部分,不但彼此呈現出和諧、一致、平衡,也與整件作品形成這樣的對稱感。

【對稱的分類方式1：狹義的對稱+廣義的對稱】
今日可以將對稱運用在狹義和廣義上面。狹義的對稱，指的是展現在人體或幾乎所有動物身上，我們熟悉的鏡射對稱(線對稱):身體左半部看起來幾乎就像右半部身體在鏡中的樣子。特別令人印象深刻的還有蝴蝶翅膀的雙邊對應，在動物界裡其他部分幾乎都是這個樣子：大自然裡幾乎找不到不對稱的物種。
廣義而言,如果一個物件(一個物體、生物、化學式、數學方程式、物理定律)
經過某些程序(鏡射、旋轉、交換或變換)之後仍保持不變,便稱為對稱。

【對稱的分類方式2：可觀測宇宙中的各種對稱+抽象概念的對稱】
在可觀測宇宙中,到處都能發現廣義的“對稱“。沒錯,對稱是已知宇宙的基本原理,對稱無所不在,許多思想家都將它看成設計原理,就連自然律本身也是從中產生出來的·我們就趁現在好好介紹一下不同情况下的對稱例子。

大自然顯然偏好對稱。除了生物身上,晶體和化合物裡的對稱性也十分引人矚目。相對於不對稱性,對稱性顯然有選擇優勢,不然它不可能在競爭選擇上那麼常勝利。許多人覺得對稱是美的,因此這個特質常常出現在藝術作品和建築裡,主要是呈現在形式、位置、排列和結構上。最著名的就是荷蘭畫家艾雪(M. C. Escher)的「對稱」系列作品,不管從上下左右哪個方向看都一樣。

圖71 : M.C. Escher的畫作～不管從上下左右哪個方向看都一樣。

【請按我→這3分鐘的短片~進入艾雪的世界】
【曾參加過ㄧ場彭良禎老師的研習：“20191128～認識 艾雪”+“非想非非想”】

建築上應用對稱原理的特別例子,是泰姬瑪哈陵,圖72:拍出了水中的倒影,甚至有兩條對稱軸,一條是垂直的，一條是水平的。

我們在一些語言結構裡也會遇到對稱,例如在迴文裡,既能順著讀,也能逆著讀。例如:

霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天
絕塞關心關塞絕，憐人可有可人憐
月為無痕無為月，年似多愁多似年
雪送花枝花送雪，天連水色水連天
別離還怕還離別,懸念期期歸念懸

或是耳熟能詳的

上海自來水來自海上，山東落花生花落東山

就連在遺傳物質DNA的語言裡,由四個核苷酸:腺嘌呤(A)、胞嘧啶(C)胞嘧啶(C)、烏糞嘌吟(G)和胸腺嘧啶(T)，所組成的DNA序列中(DNA序列又再組成遺傳密碼),迴文序列也扮演了重要的角色,例如:
ATTGCICGTTA     
分子生物學家發現,某些酶會以迴文序列的對稱中心當作識別點。

語言藝術作品中,例如詩歌,對稱不時地被當作修辭手法使用, 

例如像在重音和輕音的音節順序或是詞的排列:

【另一類型的迴文詩~排列成圓形的迴文詩】

悠雲白雁過南樓
雁過南樓半色秋
秋色半樓南過雁
樓南過雁白雲悠

就連在音樂裡·對稱原理也扮演了重要的角色。「蟹行」這個術語的意思是指倒著奏出一串音符。一種對垂直線的鏡射。音樂上的蟹行在巴洛克時期特別受歡迎。巴赫(J.S. Bach)的作品《賦格的藝術》,也是刻劃出對稱概念的好例子,這部作品中運用了另外一種對稱形式:音符仿佛是對水平線的鏡射,第二個聲部就像第一個聲部的鏡像。

許多日常生活現象中,也採用對稱的系統。特別完善的應用是在大眾運輸系統裡,所謂的整體區間時刻表。特別注意樞紐點擁有有利的轉車連結。不同路線的相交時間被稱為對稱時間。為了提供所有行駛方向有利的連結,所有交會路線的對稱時間必須相互配合。通常是以這種方式安排:對於一個行駛方向的每班車次·都安排一班往相反方向的對應車次,例如有一列車在17分會停靠於某一站,對向列車便會在43分時從同一站開車。這個以整點為準的對稱系統·稱為零對稱。對於整體區間時刻表裡的所有路線而言,都有此類的相互關係。

在以數學方式呈現的自然律中,可以找到另一種抽象概念的對稱。這牽涉到清楚表達物理量之間的關係的方程式。這些方程式是在描述物理系統的狀態及變化。透過少數的遊戲規則就能描述浩瀚的可觀測宇宙,單單這點,就是一種與眾不同的智慧魅力。馬克士威方程組（Maxwell's equations）和愛因斯坦相對論裡的關係式,便屬於其中。

關於自然律對稱性的問題,可以用以下這些問法:我可以對這個世界做哪些種類的改變,但又不會改變那些描述我們觀察到的所有現象的定律?自然律在哪些變換下仍會保持不變?第一個,也是最簡單的改變,就是位置的轉移。在柏林成立的自然律,無論是搬到撒哈拉沙漠還是月球上·都一樣成立。另外,宇宙中並沒有得天獨厚的方向。我們可以說:自然律對於所選定的任何座標系都是對稱的。就連相對說也是個偉大的對稱化概念,它建立了時空連續體的完整對稱性,不管觀察者是否正在做加速運動。愛因斯坦是透過重力的新觀點獲得這個概念;重力就是兩個質量之間的力。為了瞭解此概念的核心,你可以想像電梯裡有個人站在體重計上。雷梯往上時,身體對體重計的施力變大,量出的體重就比較重。重力變大時,也會有相同的效應。電梯向下時,身體對體重計的施力減輕,體重計上的數字便變小。重力若變小,也會產生同樣的效應。如果電梯處於自由落體的狀態,那麼體重計就記錄不到任何重量。

愛因斯坦是在1907年,想出了重力強度與運動狀態之間的對稱關係。在之後的演講中,他描述著頓悟的那一刻:「我坐在伯恩專利局裡,腦海中突然出現這個想法:如果一個人處在自由落體的狀態下,那麼他便感受不到自己的重量。我好驚訝。這個簡單的想法讓我印象深刻。它把我推向一個新的重力理論。依照這個理論,重力所產生的力和加速度所產生的力·是同一件事情。」一個影響極為深遠的對稱原理,就從這個想法產生了。

數學上有許多種對稱。例如幾何的對稱概念。如果有個運作能使兩個幾何結構互相映射,它們就是彼此對稱的。之前提過的鏡射對稱,便是一個例子,另外還有點對稱、旋轉對稱和平移對稱。

對稱概念裡另一個重要的觀點在於對稱關係,關係可被理解於兩項事情之間的關係,例如「大於」關係,或是兩人之間「以名相稱」的關係。如果a和b之間存在著一種關係,可以用符號表示為aRb,但卻不一定事先就能認為b與a之間也存在著同種關係,也就是bRa不一定存在。在「大於」關係中,這當然不可能發生;如果a大於b,那麼b一定不可能大於a。

aRb和bRa同時成立的關係,就可以稱為對稱關係。「以名相稱」是否也屬於此類關係,必須看情况。在同事之間必定如此,但在學校裡面一般來說卻不是。老師以名字稱呼年輕的學生時,學生原則上都是以姓氏稱呼老師。

對稱性出現的地方都十分重要,因為對稱性將可能出現的各種現象,簡到在某些作用之下保持不變的現象。取決於背景,可以包含強烈降低複雜度的作用。認出、決定和利用問題脈絡中既定的對稱性,是個重要的解題技巧。我們現在要介紹兩個問題,只要使用基於對稱性的技巧便可輕鬆解決。

【《思考工具14~對稱原理》書本例子1】
圓桌上的硬幣遊戲。兩個玩家坐在圓桌旁,並且有無限供應的硬幣。玩家輪流將一枚硬幣放在桌上。硬幣必須擺在桌面上。放下最後一枚硬幣時,硬幣還能完全擺在桌上的玩家,就是贏家。若兩個玩家都處於最佳狀態,誰會是赢家?   勝利的策略為何?

解:對稱原理的獨奏。能夠維持對稱狀態的人,就是贏家。放第一個硬幣的玩家必須將硬幣放在桌子正中央,才能建立對稱性。他接下來的步驟則是:下一個硬幣都要擺在對手所放的硬幣的點對稱之處,以便維持對稱狀態。用這個方式,第一個玩家強迫對手破壞擺好硬幣的對稱性,並在下一局重新建立對稱狀態,直到第二個玩家找不到任何地方擺硬幣為止。然後遊戲結束,第一個玩家獲勝。他的必勝策略主要建立在桌子的對稱形狀上。

下一個例子也是練習維持對稱的模範。

【《思考工具14~對稱原理》書本例子2】
量體重和被量體重。在醫院裡測量小嬰兒的體重一點也不簡單。體重計的指針和小嬰兒身體都會亂動。因此,安娜抱著嬰兒,站在體重計上,護士克拉兒寫下兩個人共同的體重76公斤。接下來,換護士抱著嬰兒站在體重計上,安娜寫下兩人共同的體重83公斤。最後安娜和護士一同站在體重計上,醫生抱著嬰兒,並寫下兩人共同的體重151公斤。安娜、嬰兒和克拉兒分別多重呢?

從體重計的讀數,我們得出三個方程式,三個未知數分別是安娜a、寶寶b和克拉兒c的體重:

a+b=76
b+c = 83
a+c=151    (31)

如果已知三個人的總重量g的話,便能輕鬆得知三人個別的體重。
這將會是個簡單的減法問題,例如:

b=g-(a+c)=g-151

可以看出,在現有的三個方程式中,三個未知數的其中兩個是對稱的(例如我可以將第一式中的a和b對調,結果仍然一樣),但全部三個未知數之間就不是對稱的了(如果我把第一式,即1.a+1.b+0·c=76當中的三個未知數互换,就會是錯的)

但是,如果利用三個未知數在等式左邊均出現兩次的事實,將三個方程式相加,便可以做到對稱。這樣一來,所有三個方程式的總和在三個未知數中就是對稱的:

(a + b) + (b + c) + (a + c) = 76 + 83 + 151

也就是等於   2a + 2b + 2c= 310

首先可得到g=a+b+c=310/2=155.接著由(31),便可求得個別的體重

a=g-(b + c) = 155 - 83 = 72
b=g-(a + c) = 155 - 151= 4
c=g-(a + b) = 155 - 76 = 79

在這裡,解題最關鍵的一步也是引進對稱關係,具體來說就造出一個對所有未知數均對稱的方程式。

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【在ㄧ次和阿杰老師電話聊對稱時~聊到《經典過河謎題~也是在講:對稱】

一個農夫(peasant)帶著一隻狼(wolf)，牽著一隻羊(goat)，挑著一擔菜(cabbage)去趕集，前面有一條河攔住了他，河邊有一艘船但船太小一次只能載農夫和他所帶的其中一種東西，農夫知道狼會吃羊、羊也會吃他所帶的菜，要在都不被吃的情況下農夫怎麼過去？

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【《思考工具14~對稱原理》幾何型的範例/阿杰老師分享】

【幾何型的範例~問題1】

【幾何型的範例~問題2】

【幾何型的範例~問題3】

【幾何型的範例~問題4】

【幾何型的範例~問題5】

【幾何型的範例~問題6】

【幾何型的範例~問題7】

【幾何型的範例~問題8】

【幾何型的範例~問題9】

【幾何型的範例~問題10】